一种用于有损耗慢波结构有限元本征分析的混合多波前块ILU-p型多重网格预处理

　　提出了一种全新的混合多波前块ILU-p型多重网格预处理，用于在行波管有损耗慢波结构的三维有限元本征分析中产生的复数不对称的大型稀疏线性方程组的迭代求解。本文提出并采用了改进的多波前法和超块不完全分解算法，用以提升该预处理的整体性能。这种预处理技术的运用，使得有损耗慢波结构的三维有限元本征分析更加精确、快速。在大量慢波结构的仿真中，采用这种预处理技术的有限元本征分析算法体现出了高效的计算和内存性能，与商业软件HFSS相比具有明显优势，这对于设计出高性能行波管慢波结构具有重要意义。

　　行波管是一类重要的微波/毫米波电真空器件，在卫星通信、导航、雷达和电子对抗等领域具有不可替代的作用。作为核心部件，慢波结构的性能将直接影响行波管的整管性能。利用计算电磁学方法对慢波结构进行三维本征分析，是最有效的慢波结构设计方法之一。然而慢波结构通常具有非常复杂的几何结构、很高的工作频率和很宽的工作带宽，采用通用商业软件对慢波结构进行三维本征分析的计算性能并不令人满意，特别是在个人计算机上，商业软件通常很难对慢波结构进行高精度、多参量优化设计仿真。因此，专门针对行波管慢波结构，研究更加精确、快速、稳定的三维本征分析算法是非常有意义的。

　　我们在前期理论研究的基础上开发了基于有限元法的全三维高频电路仿真软件HFCS，大量的测试结果表明，HFCS在慢波结构本征分析方面和商业软件CST MWS和HFSS相比，具有相当的计算精度、却有着更高的计算性能。行波管慢波结构的设计在没有考虑损耗时，采用传统的指定相移法时最后需要求解的广义本征值方程是线性的。

　　但随着行波管工作频率的不断提高，慢波结构中的高频损耗会显著增加，要设计出高性能的行波管就必须考虑高频损耗。此时需要求解的广义本征值方程是非线性的，即使采用新的指定频率法可以将其转换成线性本征值方程，该本征值方程中的系数矩阵也是复数不对称并且高度病态的。该本征值方程的求解非常消耗时间和内存，因此为该本征值方程的迭代求解寻找一种高效的预处理方法是提升慢波结构有损耗本征分析整体效率的关键。真空技术网(http://www.chvacuum.com/)认为“一种用于有损耗慢波结构有限元本征分析的混合多波前块ILU-p型多重网格预处理”方法能显著地降低内存使用和时间消耗，有重要的理论研究和工程应用价值。

　　多波前法凭借其高效的计算性能和高度的并行性能，已被广泛应用于大型稀疏线性方程组的直接求解。然而，目前国际上对多波前不完全分解的研究还较少，文献首次提出基于填充级数的多波前ILU预处理，证明了多波前法用于不完全分解的可能性;文献进一步提出了多波前不完全Cholesky(IC)预处理，虽然内存占用稍高于传统的IC预处理，但是其速度优势明显;文献将多波前法与多级块ILU结合起来，获得了较为高效的预处理。通过以上这些研究，可以预见采用多波前法能够形成一种高效的预处理。为了提升慢波结构有损耗本征分析中产生的广义本征值方程的求解效率，本文在前期研究的基础上，提出了混合多波前块ILU-p型多重网格(MFBILU-PMP)预处理。

　　1、p型多重网格预处理

　　对于病态的复数不对称系数矩阵，随着其维数的不断增大，基于各种常规预处理的迭代法的收敛速度会迅速降低甚至停滞。其本质原因是在迭代开始的前几步中，迭代误差的高频部分能够迅速地衰减掉，而其低频部分却衰减得很慢。多重网格法利用粗细两套网格进行迭代求解，在细网格上的迭代误差的高频部分迅速衰减后，将细网格上的迭代误差的低频部分投影到粗网格上，这些细网格上的迭代误差的低频部分在粗网格上表现为高频部分，因此能够快速地衰减。当采用采用二阶叠成基函数时，系数矩阵P 可根据基函数的阶数被划分为如下2×2块矩阵

　　式中P11和P22分别为P 矩阵中一阶基函数和二阶基函数高阶部分对应的子矩阵，而P12和P21则表示一阶基函数和二阶基函数高阶部分之间的耦合矩阵。若用近似shur分解逼近分块矩阵P 的逆矩阵，则可构造出如下p型多重网格预处理(PMP)

　　式中，子矩阵P11和P22的逆矩阵可用ILU分解来近似获得。

　　4、结论

　　本文提出了一种全新的MFBILU-PMP预处理，用于在行波管有损耗的慢波结构的三维有限元本征分析中产生的复数不对称的大型稀疏线性方程组的迭代求解。MFBILU-PMP中采用了本文提出的改进的多波前法和超块不完全分解算法，其计算和内存性能得到了大幅提升。数值实验表明，运用这种全新的预处理方法，可以大幅提升有损耗的复杂慢波结构的有限元本征分析效率，这对于设计出高性能的行波管具有重要意义。